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多面体的概念(多面体的面概念)

小猫咪 快讯 2022-05-07 多面体   概念

上周小编去撸串的时候,吃到一半,发现用来放吃完的竹签的桶已经满了。

什么,我已经吃了这么多了吗?

于是强迫症爆发,把它们整理了一下(无图qaq),就可以放下新的竹签了。

看着整齐的竹签桶,小编陷入了沉思——同样数量的竹签,同样大小的竹签桶,改变竹签的排列方式就可以让竹签桶从装满变成只装了一半,这背后的物理是什么呢?

首先从几何的角度去分析,两种竹签的空间排列方式对应的单根竹签平均占据体积不同——

等等,什么是“平均占据体积”?

为了考虑单根竹签的平均占据体积,我们定义竹签堆的总体积为,能够覆盖所有竹签的最小凸多面体。其中凸多面体被定义为,如果两个点属于这凸多面体,那么连接这两个点的线段也属于这个凸多面体。

左侧的多面体(立方体)是凸多面体:多面体内部任意两点之间的线将完全位于多面体的内部(内核)。右侧的多面体不是。

来源:flookes

我们可以从凸多面体的反义词,凹多面体去理解这个概念。比如一个被踢瘪的足球(可图),凹下的碗状部分的边缘都是属于足球的,但是连接边缘上的两点的线段,却对应的是空气,不在瘪下去的足球内。

踢瘪的足球

来源:istockphoto

所以,当定义竹签堆的体积为“能覆盖所有竹签的最小凸多面体”时,平均占据体积就是这个体积除以竹签的数目。

那么平均占据体积它的上限和下限是多少呢?

首先考虑最小的情况。假设一根竹签为一个理想的细长圆柱体,高度是L,底面半径为r,考虑空间最密堆积,可以计算出,一堆竹签中单根竹签的最小占据体积是

高密度堆积圆柱 来源:Woden Kusner

在考虑最大占据体积时,我们需要限制这一堆竹签的可能排列方式,不然如果这堆竹签中有几根相距无穷远的竹签,那么这堆竹签的体积可以对应无穷大。根据这个明显不符合我们预期的例子,我们可以要求这堆竹签中每一根竹签至少与一根其它竹签接触。

但这样还有一个反例,那就是这些竹签连接成环,这样它们对应的凸多面体的体积很大,但实际上中间有很大的空心部分。

如果我们为每根竹签赋予一个以它自身为直径的小球。那么我们要求,所有竹签对应小球的体积叠加在一起(允许部分重叠)可以覆盖整个多面体。这样,如果竹签连接成环,那必然会有空心的部分,因此被排除在假设之外啦。

接下来的问题就交给数学了。考虑竹签是只有长度,横截面积为零的线段。我们需要在所有可能的竹签排列方式中找出平均占据体积最大的解。严格的证明比较困难,但是物理人绝不认输——我们可以想办法去靠近这个解,并“顺便”在这个逼近的过程中探寻物理规律。

先看最简单的情况。一根竹签变不出什么花样来;当有两根竹签时,由于必须相互接触,则构造的凸多边形面积为|a×b|/2,考虑上竹签厚度r的话,平均占据体积为|a×b|r/4。当两根竹签相互垂直时,这个体积达到最大,为rL/4。

当有三根竹签时,可以忽略竹签厚度。任意三条相接触的线段对应的凸多面体的体积为|a•(b×c)| /6,平均占据体积为|a•(b×c)| /18。当三根竹签相互垂直时,这个体积达到最大,为L/18。如果这三根竹签的中心也恰好在一起,那么它们对应的凸多面体就恰好是正八面体。正八面体同时也是三根竹签对应的凸多面体中对称性最高的图形,具有48种对称操作。因此,竹签的取向对平均占据体积影响很大。

八面体金字塔

来源:wiki

这个解给了我们什么启发呢?对比这个解和平均占据体积最小的解,我们发现,两个解中各个竹签的方向排列不同。平均占据体积最小的解,所有的竹签排列方向都是一样的,而目前找到的最大的平均占据体积的解,每根竹签的方向都不同,而且是尽最大可能的不同(数学上该如何定性描述呢,emm, 物理人深思)。

而对于更多数目的竹签,情况更加复杂。小编虽然没有找到合适的数学模型去求解,但有一个物理模型作为破解思路。实际上,微观世界中也存在着这样的一堆竹签,那就是液晶。将这种材料放大到分子尺度,可以看到它们是由一根根“小竹签”排列组合而成的,它们在低温时呈现晶体相,也就是周期性的有序排列,随着温度升高,这些“竹签”变得可以流动起来,有序的取向逐渐向无序转变,直到最后所有液晶顺序都丢失,达到各向同性的液体状态。这些液晶分子的取向或许可以为我们的最大占据体积提供线索。

从结晶状态加热时观察到的不同液晶(LC)相的示意图

来源:I.Dierking

好了好了,说到这里小编读者朋友已经lay了,不如让我们回归生活,看看有序和无序还有哪些体现吧——

01

更多的发量

同一个头,不同的发量 来源:baijiahao

左侧的头发占据的空间体积大,每根头发的排列方向较为分散,右侧的头发占据的空间体积小,每根头发的排列方向整齐。

咱也就是说,保持头发乱一些,可以从视觉上增大发量(bushi

静 电 增 发 !! 来源:蜂鸟网

02

更暖的衣服

美丽的鹅绒毛 来源:sohu

每一根鹅绒上都有大量的细丝,每根细丝上还会分出大量绒毛。

满杯鹅绒 来源:baijiahao

这些绒毛上的细丝方向杂乱无章,每一团鹅绒虽然很轻,但都能占据较大的体积。而这部分体积中大多数是空气,空气具有良好的隔热特性,这使得羽绒服虽然不重,但保暖效果很好。

03

更旺的篝火

燃烧的篝火

来源:全景网

错乱摆放的木柴,同样具有比木柴本身体积更大的平均占据体积,这使得空气能够在木柴搭出的空洞中更好的流通,让木柴更充分的燃烧。

或许可以想得更深远一点,从能量的角度上来说,在一个圆筒内,错乱的摆放竹签,相较于整齐的摆放竹签往往会具有更高的重力势能,由于没有动能,在忽略弹性势能的前提下,其总能量更高。根据最小势能原理,当体系势能最小时,系统会处于稳定平衡状态。而实际我们在放竹签时,如果不特别的注意,会发现竹签总是会趋于错乱地摆放,也就是会处于一个能量更高的态。这与最小势能原理似乎是相违背的。问题出在哪了呢?

实际上,虽然错乱地摆放竹签其能量更高,但是它也是一种可以稳定存在的状态——亚稳态。亚稳态即动力系统中的一种中间能态,而非系统的最小能态。两个稳定的状态之间存在一个势垒,轻易的扰动没法让它从一个亚稳定的状态(1)变到更稳定的状态(3),而是需要克服势能做功来越过势垒。

亚稳态(1) 到稳态(3) 来源:wiki

对撸串桌上的竹筒而言,就是拿出我们的手,一根一根的整理竹签,才能够让它到能量最低的状态。不同的体系中的势垒高度不同,竹签的形状、重量、表面粗糙程度,还有竹签筒的形状,都会影响势垒的高度,因此有的体系达到整齐摆放的状态很容易,只需要轻微的扰动就可以让它们从错乱摆放的状态变成有序的状态。

在筷子筒中随意的放置筷子,也能达到有序的状态

:)

温馨提示

好了

今天的分析就到这里

过了腊八还有年

与友小聚,撸串之余

别忘了整理竹签哦~

参考文献

Octahedral pyramid - Wikipedia

Schematic illustration of different liquid crystal (LC) phases observed... | Download Scientific Diagram (researchgate.net)

Packing cylinders with high density. | Download Scientific Diagram (researchgate.net)

Determining Convexity of Polyhedra (flookes.com)

Metastability - Wikipedia

Octahedral pyramid - Wikipedia

最小势能原理_百度百科 (baidu.com)

封图背景来源:《人生一串》纪录片

表情包来源:网络

编辑:蕉

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